अवकल समीकरण y^2 dx + left( x - frac{1}{y} rig | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त ह

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$1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।$x e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$.माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$ और $\frac{1}{y} = -t$ होगा।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x e^{-\frac{1}{y}} = \int (-t) e^t dt + C = - (t e^t - e^t) + C = (1 - t) e^t + C$ प्राप्त होता है।$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} + C$.$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 \cdot e^{-1} = (1 + 1) e^{-1} + C \Rightarrow e^{-1} = 2e^{-1} + C \Rightarrow C = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} - \frac{1}{e}$।$e^{-\frac{1}{y}}$ से भाग देने पर,$x = 1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ के लिए,यदि $y(1) = 1$ है,तो $x = $ ज्ञात कीजिए।

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